szereg geometryczny - ostatnie pożegnanie
Weźmy taką sumę:
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …
Można zauważyć, że:
S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.
Ale
S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - … = 1 - 0 - 0 - 0 - … = 1.
Ale także
S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + …) = 1 - S,
czyli
2S = 1,
więc
S = 1/2.
Mamy w rezultacie: S = 0 = 1 = 1/2.
Takie rachunki powodują zrozumiałe ożywienie w każdej klasie. Rolą nauczyciela jest wyjaśnienie, że sumowanie szeregów rozbieżnych nie ma sensu w szkole średniej (bo za mało umiemy) i dlatego ograniczamy się do sumowania szeregów geometrycznych zbieżnych (bo tu dużo umiemy), a do tego potrzebny jest ów słynny warunek -1 < q < 1, którego szereg w powyższym przykładzie nie spełnia.
Dlatego zadanie:
Rozwiąż nierówność: x + x^2 + x^3 + … > 0
nie ma sensu!!!
A ile takich zadań mamy w zbiorach zadań i podręcznikach?
Tak więc, prawidłowo, zadanie powinno być tak sformułowane:
Rozwiąż nierówność: x + x^2 + x^3 + … > 0, jeżeli po lewej stronie nierówności mamy sumę szeregu geometrycznego zbieżnego.
Skoro nawet nie potrafimy dobrze sformułować tego typu zadań, to może i dobrze, że całość wypadła z zakresu wymagań maturalnych. Na pewno te zadania pojawią się na lekcjach. I tu moja rada: nie rozwiązujmy żadnych nierówności tego typu! Ograniczmy się wyłącznie do równań. To w zupełności wystarczy…
Niech sobie odpoczywa w spokoju wiecznym.
