pogodnie o pewnym zadaniu
W marcu część szkół pisała “materiał ćwiczeniowy z matematyki na poziomie rozszerzonym” przygotowany przez pracowników OKE w Poznaniu. Nie mam tego arkusza pod ręką, ani nie mogę znaleźć w Internecie, ale pamiętam jedno zadanie. Mamy tam znaleźć trójkąt o największym polu powierzchni wśród trójkątów, które spełniają następujące warunki:
- są wpisane w okrąg o promieniu 6,
- jeden z kątów trójkąta ma miarę 30 stopni,
- mają obwód równy 20.
Z twierdzenia sinusów dostajemy natychmiast długość boku, który leży naprzeciwko podanego kąta: a = 6. Wobec tego suma długości pozostałych boków jest równa 14.
Co dalej? Co już wiemy? Mamy oto rodzinę trójkątów wpisanych w okrąg o promieniu 6, z jednym danym bokiem też długości 6 i stałym kącie na przeciw tego boku. Od razu przychodzi nam do głowy twierdzenie o kątach wpisanych w okrąg i wspartych na tym samym łuku.
Tak to wygląda w naszym zadaniu, prawda? Jasne, że w tej rodzinie trójkątów największe pole ma ten trójkąt, którego wierzchołek jest najbardziej oddalony od znalezionego boku AB, czyli trójkąt równoramienny ABG. Skoro obwód był podany i równy 20, a znaleziony bok AB ma długość sześć, więc AG = BG = 7. Znaleźliśmy trójkąt, spełniający wszystkie warunki zadania; ma on boki 6, 7 i 7.
Co Wy na to?
Daliście się przekonać?
Rozwiązanie zadania wygląda nienagannie, jest jednak jedno ale…
Trójkąt o bokach 6, 7 i 7 jest prawie równoboczny, nie może mieć zatem kąta o mierze 30 stopni…
Trójkąt ABG na rysunku powyżej spełnia wszystkie wymagania podane w zadaniu, ale nie może mieć obwodu 20! Na oko widać, że skoro AS = 6, to AG nie może być równe 7.
Hmmm. Kłopot.
Czyli jest tak, że w narysowanej wyżej rodzinie trójkątów punkt C porusza się po okręgu, ale wybraliśmy nie ten trójkąt, co trzeba. To który trzeba było wybrać?
Jaka krzywa jest zbiorem punktów C, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stała? Jaka krzywa jest obrazem równania AC + CB = 14 ?
Elipsa!
Oto i ona narysowana kolorem czerwonym - na rysunku powyżej mamy też znany nam już okrąg (niebieski). Otrzymujemy dwa punkty C spełniające warunki zadania, tu oznaczone literami E i F. Zmierzone długości odcinków AE i EB sumują się (prawie) do 14.
Ze względu na symetrię rysunku oba znalezione trójkąty, to jest trójkąt ABE i trójkąt ABF mają te same kąty, te same długości boków i te same pola. Są przystające.
Super zadanie!
Ze względu na pogodny nastrój długiego weekendu pominę wszystkie związane z tym zadaniem złośliwości i nie napiszę złego słowa o jego autorze.
