Pobierz PDF   Drukuj

Zadania egzaminacyjne pozwalają wykorzystać wszystkie możliwości kalkulatora graficznego

40 lat IBO, 10 lat kalkulatorów graficznych na egzaminach z matematyki i garść refleksji...

      IBO (International Baccalaureate Organization) - fundacja edukacyjna założona w 1968 roku w Genewie. Obecnie współpracuje z 2493 szkołami ze 132 krajów świata¹. Oferuje trzy programy edukacyjne: Primary Years Programme (PYP), Middle Years Programme (MYP) oraz Diploma Programme (DP), zgodnie z którymi uczy się już prawie 700000 uczniów w wieku od 3 do 19 lat. PYP to program dla uczniów od 3 do 12 lat (obejmuje przedszkola i szkoły podstawowe) koncentrujący się głównie na społecznych i emocjonalnych potrzebach dziecka. MYP obejmuje uczniów w wieku od 11 do 16 lat (gimnazja) i koncentruje się na kształtowaniu postaw, wiedzy i krytycyzmu poznawczego. DP obejmuje uczniów w wieku od 16 do 19 lat i kończy się egzaminem maturalnym. Uczniowie uczą się sposobów przyswajania informacji oraz komunikowania z przedstawicielami innych kultur. Dla IB pracuje ponad 5000 egzaminatorów rozsianych po całym świecie. W Polsce mamy 28 szkół, które oferują co najmniej jeden program IB. Niestety, część uczelni nie respektuje wyników Matury Międzynarodowej i uczniowie muszą zdawać także „polską” maturę.
      Przyjrzymy się bliżej matematyce nauczanej w ramach IBO i zastosowaniu kalkulatorów². Kalkulatory graficzne zostały wprowadzone w IBO w połowie lat 90 i stały się narzędziem obowiązkowym w roku 1998. Błyskawicznie zdano sobie sprawę z faktu, że ta decyzja będzie miała większy wpływ na nauczanie i ocenianie matematyki, niż pierwotnie przypuszczano. Ponieważ kalkulatory graficz¬ne dostępne na rynku różniły się możliwościami, więc zaszła paląca potrzeba wypracowania pewnych minimalnych wymagań, jakie powinien spełniać taki kalkulator na lekcjach matematyki i takie wymagania zostały opublikowane w 1999 roku. Obecnie można przyjąć, że najpopularniejszymi modelami są TI-83, TI-84 firmy Texas Instruments oraz CFX-9850 firmy CASIO.  
      Zadania egzaminacyjne pozwalają wykorzystać wszystkie możliwości kalkulatora graficznego, od wykonywania podstawowych rachunków w trybie kalkulatora naukowego, przez analizowanie wykresów funkcji z użyciem rachunku różniczkowego i całkowego, aż do skomplikowanych przekształceń macierzy i wyznaczników. Pojawia się wszakże zasadnicze pytanie: w jaki sposób uczeń ma przedstawić wyniki swojej pracy na kalkulatorze? Ponieważ wiele pytań egzaminacyjnych ma charakter otwarty, więc owo pytanie może być w zasadzie traktowane jako szczególne wobec pytania, w jaki sposób uczeń ma prezentować wyniki swojej pracy. Pewne wytyczne dla nauczyciela, który przygotowuje uczniów do egzaminu z matematyki, można znaleźć w książce pomocniczej dla nauczyciela „Mathematics HL/SL: Graphic Display Calculators, Teacher Support Material” wydanej w maju 2005 roku. Szczególnie ciekawym wydaje się rozdział o tym, „co studenci powinni zapisywać w czasie trwania egzaminu”. Popatrzmy na kilka (prostych) przykładów.

Przykład 1. W ciągu arytmetycznym dane są: wyraz pierwszy równy – 2, wyraz czwarty równy 16 oraz wyraz n-ty równy 11998. Znaleźć
    (a)   różnicę tego ciągu r,
    (b)   wartość n.

 
W jaki sposób powinien postępować uczeń, rozwiązując dane zadanie?
   1. Zapisać dane w języku matematycznym, a więc: a₁ = -2, a₄ = 16, a_n = 11998.
   2. Podać wzór: a_n = a₁ + (n - 1)r.
   3. Zapisać dwa równania: 16 = -2 + (4-1)r  oraz 11998 = -2 + (n - 1)r.
   4. Rozwiązać równania.
   5. Podać wyniki końcowe: (a) r=6 oraz (b) n=2001.

Wybór metody do „pokonania” kroku 4 zależy wyłącznie od ucznia. Tak więc, oba równania można rozwiązać na arkuszu egzaminacyjnym „na piechotę” bądź za pomocą kalkulatora (Casio cfx):

i wówczas na arkuszu winien znaleźć się komentarz, że uczeń znajduje rozwiązania za pomocą kalkulatora.

Przykład 2. W trójkącie ABC dane są AC = 104m, AB = 65m oraz kąt między tymi bokami o mierze 60^o . Obliczyć długość trzeciego boku.

Rozwiązanie. Uczeń powinien:
   1. Wykonać rysunek pomocniczy, na którym zaznaczy wielkości dane i oznaczy wielkość szukaną odpowiednią literą.
   2. Zapisać wzór, wg którego obliczy szukaną wielkość: a² = b² + c² - 2bc cos A
   3. Napisać równanie: x² = 104² + 65² - 2 • 104 • 65 • cos 65^o
   4. Znaleźć rozwiązanie.
   5. Zapisać rozwiązanie.

I znów można krok 4 pokonać na wiele sposobów. Wykorzystując kalkulator graficzny uczeń musi pamiętać, iż kalkulator powinien pracować w stopniach.

     Pewnej grupy zadań nie można rozwiązywać za pomocą kalkulatora. W ich treści uczeń znajdzie frazę „show that” czyli „pokaż że”, albo „show all your work” czyli „zapisz całe rozumowanie wraz z rachunkami”. Często w treści zadania pojawia się polecenie, aby znaleźć dokładną wartość. Wtedy uczeń powinien rozwiązać zadanie na papierze, a kalkulator może ewentualnie być pomocny przy weryfikacji rozwiązania.

Przykład 3. Funkcja f jest określona dla   wzorem

Niech R będzie obszarem ograniczonym wykresem tej funkcji, osią odciętych oraz prostą x = 5.
   (a)   Obliczyć dokładną wartość pola obszaru R.
   (b)   Znaleźć objętość bryły, powstałej w wyniku obrotu obszaru R dokoła osi odciętych.

Rozwiązanie. Uczeń powinien:
   1. Napisać odpowiedni wzór na pole obszaru R:

  
   2. Obliczyć całkę oznaczoną na przykład metodą podstawiania:

 
   3. Napisać wzór na objętość bryły powstałej z obrotu obszaru R:

 
   4. Obliczyć powyższą całkę oznaczoną. Tym razem uczeń może zastosować kalkulator graficzny dla znalezienia rozwiązania:

   5. Zapisać rozwiązanie: V ≈ 1,38 

Powyższy przykład pokazuje, że uczeń oprócz doskonałego opanowania „klawiszologii”, musi wykazać się także pomysłowością w zastosowaniu kalkulatora do rozwiązania konkretnego problemu. 
      Dla „równowagi” trzeba wspomnieć o zmianach wprowadzonych ostatnio przez IBO na egzaminach z matematyki począwszy od sesji majowej 2008 roku. Otóż, pisząc w dużym skrócie, gdyż to temat na inny artykuł, używanie kalkulatora graficznego niesie szereg zagrożeń. Może się zdarzyć, że zdający całkiem bezkrytycznie zaufa wynikom kalkulatora, albo - wpisując taką czy inną formułę - otrzyma jakiś wynik. Nie jest możliwa weryfikacja, czy ten wynik jest skutkiem prawidłowego rozumowania, czy też zupełną bzdurą. Dlatego na egzaminie Mathematics SL w części 1 użycie kalkulatora (jakiegokolwiek) jest zabronione. Zdający ma rozwiązać zadania w klasyczny sposób. Dopiero w części 2 egzaminu można użyć kalkulatora graficznego, przy czym zdający nie ma wyboru, gdyż kilka zadań wprost wymaga zastosowania kalkulatora.
      Czas na prezentację kilku zadań, które można rozwiązać za pomocą kalkulatora graficznego, i które mogłyby znaleźć się na egzaminie maturalnym w polskiej szkole.

Zadanie 1. Liczbę 10 rozłóż na dwa składniki dodatnie tak, aby suma ich czwartych potęg była najmniejsza. Znajdź tę sumę.

Rozwiązanie. Niech x oraz y oznaczają poszukiwane składniki. Z warunków zadania wynika, że x > 0, y > 0 oraz suma x⁴ + y⁴   ma być najmniejsza. Ponieważ x + y = 10, więc y = 10 - x, stąd suma x⁴ + (10 - x)⁴  ma być najmniejsza, gdzie 
Mamy kilka metod rozwiązania tak postawionego problemu.
Uczeń, który wybrał matematykę jako przedmiot wiodący, z pewnością zastosuje rachunek różniczkowy. Natomiast dla pozostałych uczniów zadanie jest za trudne. Wystarczą jednak postawy obsługi dowolnego kalkulatora graficznego, żeby zbadać funkcję  x⁴ + (10 - x)⁴   w zadanym przedziale:

	Wprowadzamy wzór funkcji
	Określamy zakres zmiennej niezależnej
	Polecenie auto zapewni nam właściwy zakres zmiennej zależnej
	Analizujemy otrzymany wykres. Z menu wyszukujemy polecenie min.
	Odpowiednio interpretujemy wyświetlone liczby:      Dla x = 5 suma jest najmniejsza i równa 1250.

Zadanie 2. W trójkącie równobocznym ABC na boku BC obrano taki punkt D, że DB = 3,1 cm oraz AD = 5,2 cm. Znajdź CD.

Rozwiązanie. Po wykonaniu rysunku pomocniczego i zaznaczeniu wielkości danych oraz oznaczeniu CD = x, możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD:

5,2² = 3,1² + (x + 3,1)² - 2(3,1)(x + 3,1)cos 60^o
 
Teraz należy rozwiązać powyższe równanie (kwadratowe). Wikłanie ucznia w rachunki jest na porządku dziennym w polskiej szkole. Po co? Mozolne rozwiązywanie równania kwadratowego musi doprowadzić do „nieciekawego” wyróżnika, więc i tak w końcu rozwiązanie będzie podane w przybliżeniu.
Na maturze międzynarodowej rachunki należy wykonywać z dokładnością do 3 cyfr znaczących. Do rozwiązania równania możemy użyć kalkulatora graficznego i opcji: EQUATION, w przypadku kalkulatorów CASIO wygląda to tak:

     Wybieramy z menu opcję rozwiązywania równań
     Uruchamiamy Solver
     Wpisujemy równanie (całe nie mieści się na ekranie kalkulatora)
     Otrzymaliśmy rozwiązanie: CD = 2,90 cm

Uczeń musi przy tym pamiętać, aby jego kalkulator pracował w stopniach.
W zadaniu 2 możemy dobrać inne dane i zrezygnować z kąta o mierze 60^o, wtedy równanie będzie jeszcze trudniejsze rachunkowo, ale tak samo trudne (łatwe), gdy dopuścimy możliwość jego rozwiązania za pomocą kalkulatora graficznego. A przecież w tym zadaniu oceniamy ucznia za znajomość związków między bokami i kątami w trójkącie, a nie za umiejętności rachunkowe!

Zadanie 3. Przyjmijmy, że dochód narodowy per capita (PKB) wynosi obecnie dla Polski 12700 dolarów, a dla Szwajcarii 35000 dolarów, oraz załóżmy, że tempo wzrostu PKB wyniesie odpowiednio 5% i 2% rocznie. W którym roku PKB dla Polski przewyższy PKB Szwajcarii?

Rozwiązanie. Zbudujmy tabelkę:

   
Wystarczy więc rozwiązać nierówność: 12700•1,05ⁿ > 35000 • 1,02ⁿ . I znów, dla większości uczniów nierówność wykładnicza jest za trudna do rozwiązania. Mając kalkulator graficzny, uczeń dysponuje kilkoma możliwościami. Można zbudować tabelkę i właściwie zinterpretować liczby w niej zawarte.
 

	Wybieramy z menu opcję RECUR. Oraz ustalamy...
	...rodzaj zależności między wyrazami ciągu
	...wzory ciągów, opisujące wzrost PKB dla obu krajów
	...zakres zmienności n
	...i przeglądając powstałą tabelkę, stwierdzamy (ze smutkiem), że n = 35, czyli dopiero w roku 2042  PKB dla Polski przekroczy PKB dla Szwajcarii.

Z przytoczonych wyżej przykładów widać, że uczeń, choć może brak mu biegłości rachunkowej, musi wykazać się sporymi umiejętnościami.
      Analiza treści zadania, dobór odpowiedniego narzędzia do jego rozwiązania, analiza otrzymanych wyników - tego powinniśmy uczyć na lekcjach matematyki oraz egzekwować na egzaminach.
W raporcie³ czytamy między innymi, że
   - „przystępując do rozwiązania problemu, wielu zdających nie potrafiło poprawnie przeprowadzić analizy warunków zadania i optymalnie dobrać metody jego rozwiązania”,
   - „zdający mieli poważne trudności z przeprowadzeniem poprawnej analizy warunków zadania i zbudowaniem modelu matematycznego do przedstawionej sytuacji problemowej”,
   - „zdający nie potrafią budować modelu matematycznego zgodnego z sytuacją opisaną w treści zadania” ,
   - „piszący budowali model, ale ich warsztat matematyczny był zbyt mizerny, aby doprowadzić rozwiązanie do końca”.
Toż to tragedia! Na lekcjach matematyki nie ma wystarczająco dużo czasu na budowanie modeli, zresztą sztampowe zadania w podręcznikach nie prowokują do myślenia. Dajmy wreszcie szansę tym uczniom, których „warsztat matematyczny jest mizerny”. Wielu z nich za pomocą kalkulatora potrafi znaleźć rozwiązanie problemu, bez względu na to, czy umie policzyć taką czy inną pochodną, albo czy potrafi rozwiązać takie czy inne równanie wielomianowe. Zresztą, kto – poza wąską grupą specjalistów – potrzebuje na co dzień takich umiejętności? Natomiast każdy absolwent szkoły średniej MUSI umieć rozwiązać problem przedstawiony w zadaniu 3, żeby potem krytycznie odbierać informacje płynące z prasy, radia i telewizji.


________________________________________
¹  Z czego 50% szkół jest w USA i Kanadzie. Dane na 31 grudnia 2008r.
²  Krzysztof Nowakowski, Kalkulator na Maturze Międzynarodowej, Matematyka w Szkole, 29, 2007
³  www.oke.poznan.pl/pliki/raporty/matematyka_2007.pdf